[2015년 저동고]

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[2학년(이과) 1학기 기말 미적분1]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: {d} over {dx} int _{} ^{} {LEFT ( ax ^{4} +bx ^{3} +3x+1 RIGHT ) dx} =2x ^{4} -3x ^{3} +cx+1]
일 때, [eqn: a+b+c]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수) [3.0점]

②

① [eqn: -1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

곡선 [eqn: y=x ^{3} +ax+b] 위의 점 [eqn: LEFT ( 1,```2 RIGHT )]에서의 접선의 방정식이
[eqn: y=x+1]일 때, [eqn: ab]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수) [3.2점]

⑤

① [eqn: 6]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -6]

부정적분 [eqn: int _{} ^{} {{x ^{4}} over {x-1} dx} - int _{} ^{} {{1} over {x-1} dx}]을 구하면? (단, [eqn: C]는 적분상수) [3.3점]

②

① [eqn: {1} over {4} x ^{4} + {1} over {3} x ^{3} - {1} over {2} x ^{2} +x+C]

② [eqn: {1} over {4} x ^{4} + {1} over {3} x ^{3} + {1} over {2} x ^{2} +x+C]

③ [eqn: {1} over {6} x ^{5} + {1} over {4} x ^{4} + {1} over {2} x ^{3} +x ^{2} +C]

④ [eqn: {1} over {6} x ^{5} + {1} over {5} x ^{4} + {1} over {4} x ^{3} + {1} over {3} x ^{2} +C]

⑤ [eqn: {1} over {5} x ^{5} + {1} over {4} x ^{4} + {1} over {3} x ^{3} + {1} over {2} x ^{2} +x+C]

다음 중 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {4} x ^{4} +x ^{3} +2]가 증가하는 구간은? [3.4점]

④

① [eqn: LEFT ( - INF ,```-3 RIGHT )]	② [eqn: LEFT ( -3,```0 RIGHT )]	③ [eqn: LEFT ( 0,``` INF RIGHT )]

④ [eqn: LEFT ( -3,``` INF RIGHT )]	⑤ [eqn: LEFT ( - INF ,``` INF RIGHT )]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 도함수가 [eqn: 4x ^{3} +3x ^{2} -4x]이고 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x+2]를 인수로 가질 때, [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT )]의 값은? [3.5점]

①

① [eqn: -2]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 11]

밑면이 정사각형인 직육면체에서 모든 모서리의 길의 합이 [eqn: 24]일 때, 직육면체의 부피의 최댓값은? [3.7점]

①

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 32]

[eqn: lim _{n-> INF } {{1} over {n ^{5}} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( n+2k RIGHT ) ^{4}}]의 값은? [3.8점]

③

① [eqn: 121over10]	② [eqn: 243over10]	③ [eqn: 121over5]

④ [eqn: 242over5]	⑤ [eqn: 243over2]

잔잔한 호수에 돌을 던지면 동심원 모양의 파문을 일으킨다. 가장 바깥쪽 파문의 반지름의 길이가 [eqn: 20rmcm/초]로 커질 때 [eqn: 10]초 후의 파문의 넓이의 증가율은? (단, 단위는 [eqn: rmm ^{2} /초]이다.) [4.0점]

②

① [eqn: {2} over {5} pi]	② [eqn: {4} over {5} pi]	③ [eqn: pi]

④ [eqn: 4 pi]	⑤ [eqn: 8 pi]

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]일 때의 위치 [eqn: x]가 [eqn: x=t ^{3} -4t ^{2} +3t]일 때, 다음 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4.1점]

③

ㄱ, 출발한 순간의 속도는 [eqn: 3]이다.

ㄴ. [eqn: t=1]일　때, 움직이는 방향을 바꾼다.

ㄷ. 출발 후 처음 원점에 왔을 때의 가속도는 [eqn: 6]이다.

ㄹ. 점 [eqn: rmP]가 움직이는 방향을 바꾼 횟수는 [eqn: 2]이다.

① ㄱ, ㄴ	② ㄱ, ㄷ	③ ㄱ, ㄹ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄷ, ㄹ

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: int _{1} ^{5} {g LEFT ( x RIGHT ) dx}]의 값을 [eqn: S]로 나타낸 것은? [4.1점]

⑤

(가) [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수가 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]이다.

(나) [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1], [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) =5]

(다) [eqn: int _{1} ^{5} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} =S]

① [eqn: S]	② [eqn: 12-S]	③ [eqn: 12+S]

④ [eqn: 24-2S]	⑤ [eqn: 24-S]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]가 원점을 출발하고 [eqn: t]초 후의 속도가 [eqn: v LEFT ( t RIGHT ) = {1} over {3} t ^{3} -2t ^{2} +3t LEFT ( 0 LEQ t LEQ 4 RIGHT )]일 때, 속도가 감소하는 구간에서 이 점의 위치의 변화량은? [4.3점]

④

① [eqn: - {5} over {2}]	② [eqn: - {4} over {3}]	③ [eqn: 5over4]

④ [eqn: 4over3]	⑤ [eqn: 7over2]

두 곡선 [eqn: y=x ^{3} -3x ^{2}]와 [eqn: y=-x ^{2} +x-2]로 둘러싸인 부분의 넓이는? [4.4점]

④

① [eqn: 11over12]	② [eqn: 9over4]	③ [eqn: 8over3]

④ [eqn: 37over12]	⑤ [eqn: 6]

방정식 [eqn: LEFT | x ^{3} -3x+1 RIGHT | =a]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 4]개가 되도록 하는 실수 [eqn: a]의 범위는? [4.6점]

③

① [eqn: 0<a<1]	② [eqn: -1<a<3]

③ [eqn: 1<a<3]	④ [eqn: -1<a<1]

⑤ [eqn: a>3]

[eqn: y=x ^{3} -3x ^{2} +2x+1] 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]에서의 접선이 평행할 때, 선분 [eqn: rmPQ]의 중점의 좌표는? [4.7점]

②

① [eqn: LEFT ( 1,```-3 RIGHT )]	② [eqn: LEFT ( 1,```1 RIGHT )]	③ [eqn: LEFT ( 1,```5 RIGHT )]

④ [eqn: LEFT ( 2,```2 RIGHT )]	⑤ [eqn: LEFT ( 2,```3 RIGHT )]

미분 가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: lim _{x-> INF } {f` prime LEFT ( x RIGHT ) =-3}]을 만족시킬 때, [eqn: lim _{x-> INF } {LEFT { f LEFT ( x+1 RIGHT ) -f LEFT ( x-2 RIGHT ) RIGHT }}]의
값은? [5.0점]

①

① [eqn: -9]	② [eqn: -6]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 3]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} +4x ^{3} -2kx ^{2}]가 극댓값을 갖기 위한 실수 [eqn: k]의 범위는? [5.4점]

⑤

① [eqn: k > - {9} over {4}]	② [eqn: k GEQ - {9} over {4}]

③ [eqn: k > - {1} over {2}]	④ [eqn: k <0,```0 < k LEQ {9} over {4}]

⑤ [eqn: - {9} over {4} < k < 0,```k > 0]

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

다음 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [5.5점]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +xf` prime LEFT ( x RIGHT ) =0]이 서로 다른 세 실근

[eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 2]를 갖고, [eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) f LEFT ( -1 RIGHT ) f LEFT ( 2 RIGHT ) =0]이다.

⑤

문제 오류 :

[eqn: y=xf(x)]의 그래프에 착안해서 만든 문제인 듯 한데,

조건을 만족하는 [eqn: f(x)]는 존재하지 않는다.

ㄱ. [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) +f LEFT ( 2 RIGHT ) < 0]

ㄴ. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=2]에서 극솟값을 갖는다.

ㄷ. 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]은 서로 다른 세 실근을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

서술형

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 도함수 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )]는 이차함수이고, 함수 [eqn: y=f` prime LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 아래 그림과 같다. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 극솟값이 [eqn: -2], 극댓값이 [eqn: 6]일 때, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 구하는 과정을 자세히 서술하고, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 구하시오. [7.0점]

[eqn: -2x ^{3} +6x ^{2} -2]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: x > 1]일 때, 부등식 [eqn: x ^{n+1} +n > LEFT ( n+1 RIGHT ) x]가 성립함을 보이는 과정을 자세히 서술하시오. [10.0점]

[eqn: f(x)=x^n+1 +n-(n+1)x]라 하면

[eqn: x>1]일 때, [eqn: f `prime (x)>0]이고 [eqn: f(1)=0]이므로

임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 등식을 만족시키는 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하는 과정을 자세히 서술하고 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a >0]) [13.0점]

[eqn: f(x)=6x-4]

[eqn: int _{a} ^{x} {LEFT ( x-t RIGHT ) f LEFT ( t RIGHT ) dt} =ax ^{3} -2x ^{2} +bx]

[2015년 저동고]

[2학년(이과) 1학기 기말 미적분1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com